什么是“量子力学”

听到“量子力学”这四个字就想跑？别跑，科学人带你慢慢梳理。图片来源：strangenotions.com

经典物理中的几率

为了解释什么是量子力学，我们先从经典物理说起。

经典物理包括以牛顿三大定律为核心的牛顿力学(或称经典力学)，以及以麦克斯韦方程组为核心的经典电动力学(或称电磁学)。 对于速度接近光速，以及强引力场情况，还要考虑狭义及广义相对论，但是相对于量子力学而言，它们仍然属于经典物理的范畴。

在经典物理中，每个物理量，比如位置、动量、角动量、电场强度、电流，等等，在每个时刻都有明确的取值，都是一个客观实在。而它们随时间变化的情况就是动力学，由牛顿力学及经典电动力学的基本定律决定。只要知道某个时刻的物理量的值，就可以从动力学得到其它任意时刻的取值。 因此本质上经典物理是决定论的。

经典物理里也有几率，或称概率，但这是一种粗粒化描述。在我们不了解或者无法控制细节时，考虑各种可能性，从而得到一个几率分布。比如掷骰子。

骰子的运动其实是一个决定论的过程，没有本质上的随机性。如果了解它的力学细节，比如质量分布、初始位置、方位、速度、整个下落过程中的受力情况等等，其实是可以预言最后哪一面朝上的。当然，在实际中一般做不到这一点。而如果对于各种细节情况作个平均，我们就可以预言：“如果投掷N次，其中每一面朝上的次数大约N/6次”。也就是说，每一面朝上的几率大概是1/6。

不过我们也经常有这样的情况：即细节描述不但不可能，而且没有必要，而几率描述更抓住问题的本质。

比如一团气体在给定温度下，各种微观状态有一个几率分布，由此可以得到给定温度下的宏观性质，比如平均总能量、压强等等。这就是统计物理。

基于经典力学的经典统计物理中的几率抓住了问题的本质，但这种几率和骰子类似，不是实质性的，也就是说，微观细节仍然是服从经典物理的决定论过程。

那么，什么样的几率是实质性的，也就是说背后没有决定论的过程？答案就是量子力学中的几率。

量子力学中的几率

量子力学的中心概念是量子态。而根据量子态，我们可以计算出各种几率分布。下面我们将了解到，量子态比几率分布的涵义还要多。

注意：量子态不是一个物理量，而是一个描述，由此决定出各相关物理量被测量后的各种取值的几率，从而可以计算出每个相关物理量的期望值，或称平均值。而一旦作了某个物理量的测量，就得到这些可能值中的一个。同时，量子态也相应地更新为一个新的量子态，在这个量子态上，刚测得的物理量取值的几率为1。

举一个例子。光有个性质叫偏振，代表了电场振动方向，它总是位于与传播方向垂直的平面上。如果偏振方向沿着这个平面上的一个特定方向，这种光就是线偏振光。如果偏振方向在这个平面上旋转，这种光就是圆偏振光。

不同的光可以混合成非偏振或者部分偏振光。而非偏振的自然光透过偏振片，可以产生偏振方向沿着透光轴的线偏振光。如果让线偏振光垂直入射一个偏振片，它透过的强度是原来强度的θ, 即 (cosθ) * (cosθ)，其中θ是光入射前的线偏振方向与偏振片透光轴方向的夹角，“*”代表相乘。

光是由光子组成的，光子服从量子力学。那么现在我们来考虑这种沿θ方向线偏振的单个的光子。它透过偏振片的几率就是θ。

这里就要解释几率的涵义了。如果有N个(N很大)同样的这种光子分别入射到这个偏振片上，也就是说，重复N次相同的过程，那么有N*θ个光子透射过去。

但是，对于每一个光子来说，我们却无法预测它究竟能否透射过去，完全不能。所以我说量子力学的几率是实质性的。

量子态

量子力学有一套理论框架描述这些性质。光子的偏振由一个量子态描述。我们可以把它记为|ψ>。它在数学上是一种矢量。

我们知道，空间中的矢量，比如位置，由几个坐标(或者叫分量)确定。任意一个矢量都可以分解为几个互相正交的基本矢量。它们平行或反平行于坐标轴，长度大小就是坐标的绝对值，方向由坐标的符号代表。它们称作基矢。

与之类似，量子态这种矢量也可以分解为几个互相正交的基矢，它们称为基矢态。这里的矢量不是在我们所生活的空间，而是在一个抽象的数学空间里，称作矢量空间。它是这个量子系统的所有可能的量子态的集合，服从一定的运算规则。这些矢量的正交也有它的定义。

在我们生活的空间里，坐标的选择是任意的。与之类似，对于一个量子态来说，选择哪一套基矢态来展开或者分解也是任意的。但是为了计算某个测量的几率，选择与这个测量对应的基矢态比较方便。光子透过偏振片可以看作一个测量过程，如果偏振方向沿着偏振片的透光轴方向，就会穿透；而如果垂直于透光轴方向，就不能穿透。

非偏振光线经过偏振片后成为线偏振光，偏振光线垂直于透光轴方向时不能穿透。图片来源：jasonpotvin.wordpress.com

为简单起见，我们考虑某个垂直入射偏振片的线偏振光子。假设在偏振片上定义一个xy平面，光子的线偏振沿着θ方向。我们将这个偏振量子态记作|θ>。

现在我们先假设偏振片的透光轴沿着x方向。为了计算光子透过偏振片的几率，可以把光子原来的量子态分解如下：

|θ>=cosθ|↔>+ sinθ|?>    (1)

其中|↔>与|?> 互相正交，|↔>代表光子偏振方向沿着x方向，即目前偏振片的透光轴，|?>代表光子偏振方向沿着y方向，即垂直于偏振片的透光轴。

光子入射偏振片，量子态变得非此基矢态即彼基矢态，要么变成|↔>，从而透过偏振片；要么变成|?>, 从而不能通过偏振片。 前者的几率是θ，后者的几率是θ。几率等于展开式(1)式右侧各基矢态前面的系数(通常称作展开系数)的模的平方。这是由量子态决定几率的基本规则。这些系数的模的平方之和等于1，因为各种可能的几率之和应该是1。 因此，光子穿透偏振片的几率是θ，穿透后的量子态变为|↔>。

现在我们改变一下偏振片的方位，将它逆时针转动45度，然后再将处于同样偏振量子态|θ>的光子入射。现在将光子的量子态|θ>作如下分解比较方便：

|θ>=cosθ'|↗>+ sinθ'|↖>    (2)

其中θ'= θ-45度，|↗>代表光子偏振方向沿着45度方向，即目前偏振片的透光轴。|↖>代表光子偏振方向沿着135度方向，即垂直于偏振片目前的透光轴。可以看出，对于目前的偏振片透光轴方向，光子穿透偏振片的几率是θ, 穿透后的量子态成为|↗> 。 

事实上, 式(1)也适用于|↗>和|↖>, 分别对应于θ=45度和θ=135度，也就是说， 

|↗>=(|↔>+|?>)/r,     (3a)

|↖>= (-|↔>+|?>)/r.    (3b)

反过来就是

|↔>=(|↗>-|↖>)/r,      (4a)

|?> =(|↗>+|↖>)/r.      (4b)

r代表根号2，即r*r=2。后两式也可以分别通过将和带入(2)式得到。

也有复杂一点的测量方法，可以做到测量一个光子的偏振态而且不失去它。比如，借助于一个双折射晶体和两个偏振片，使得每个光子都能随机地从一个偏振片透射出来，非此即彼，每个偏振片分别对应于一个基矢态。下面所讨论的对偏振态的测量就是这样。为了简单起见，这里不赘述细节。

一般来说，一个量子态用基矢态展开，比如圆偏振态用线偏振基矢态展开，展开系数是复数。但是为简单起见，本文所用的例子中，展开系数都是实数。

对于不同的物理性质有不同的量子态。比如偏振是一个物理性质，动量是另一个物理性质。如果不同的物理性质之间没有耦合，相应的量子态也没有耦合，只需要考察相关的量子态。比如在上面这个例子里，关于光子的动量或者位置当然也有量子态，但是与我们关心的偏振现象没有关系，所以不去关心。

在测量之前，量子态随时间的演化是由一个动力学方程决定的，这个方程被称作薛定谔（E. Schrödinger）方程，因为历史上第一个例子(描写氢原子中的电子)是由薛定谔提出的。与相关物理性质有关的能量是一个常数时，相应的量子态在测量之前就不变。

在量子力学里，量子态、几率分布以及物理量的期望值都可以有决定论的动力学演化，但是这改变不了量子力学的几率本质，因为在每个量子态上，作一个物理量的测量，都有一个内在随机性。

那么什么情况下用经典物理，什么情况下必须用量子力学？它们的分界线在哪里？严格来说，这是一个没有完全解决的问题。

对于具体的实际情况，一般能够判断。比如，一般来说，小分子层次以下的微观粒子必须要用量子力学，而我们周围的宏观物体服从经典物理。但是随着实验技术的进步，越来越大的物体表现出量子效应。所以有可能所有的物质本质上都服从量子力学，只是在环境的作用下，表观上显示出经典物理。但是也有可能量子力学的适用范围是有限的。我认为，按物理学目前的水平来说，这两种可能都是存在的。（编辑：Jerrusalem)

作者：施郁
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来源：果壳
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